Matemáticas

Matemáticas (del griego μάθημα, máthema: ciencia, conocimiento, aprendizaje, μαθηματικóς, mathematikós: amante del conocimiento) es la ciencia que estudia las propiedades de los entes abstractos, como los números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones.

Trata relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los métodos por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas.

Es la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas.

Las numerosas ramas de la matemática están muy interrelacionadas; he aquí una lista de secciones que podemos considerar en su estudio.

Números
Números - Número natural - Número entero - Número racional - Número irracional - Número real - Número complejo - Cuaterniones - Octoniones - Sedeniones - Números hiperreales - Números infinitos - Dígito - Sistema de numeración - Número p-ádico

Matemática del cambio
Cálculo - Cálculo vectorial - Análisis - Ecuación diferencial - Sistemas dinámicos y teoría del caos - Lista de funciones - Logaritmo

Análisis
Sucesiones - Series - Análisis Real - Análisis Complejo - Análisis funcional - Álgebra de operadores

Estructuras matemáticas
Álgebra abstracta - Teoría de números - Álgebra conmutativa - Geometría algebraica - Teoría de grupos - Monoides - Análisis - Topología - Álgebra lineal - Teoría de grafos - Teoría de las categorías

Espacios
Topología - Geometría - Teoría de haces - Geometría algebraica - Geometría diferencial - Topología diferencial - Topología algebraica - Álgebra lineal - Cuaterniones y rotación en el espacio

Matemática finita
Combinatoria - Teoría de conjuntos - Estadística y Probabilidad - Teoría de la Computación - Matemática discreta - Criptografía - Teoría de los grafos - Teoría de juegos

Matemática aplicada
Mecánica - Cálculo numérico - Optimización - Matemáticas discreta - Estadística y probabilidad

Teoremas y conjeturas famosas
Teorema de Fermat - Hipótesis de Riemann - Hipótesis del continuo - clases de complejidad P y NP - Conjetura de Goldbach - Conjetura de los números primos gemelos - Teoremas de incompletitud de Gödel - Conjetura de Poincaré - Argumento de la diagonal de Cantor - Teorema de Pitágoras - Teorema fundamental del cálculo - Teorema Fundamental del Álgebra - Teorema de los cuatro colores - Lema de Zorn - Identidad de Euler.

Fundamentos y Métodos
Filosofía de las matemáticas - Intuición matemática - Constructivismo matemático - Fundamentos de las matemáticas - Teoría de conjuntos - Subconjuntos flojos - Lógica simbólica - Lógica floja - Teoría de modelos - Teoría de las categorías - Prueba de los teoremas - Axiomática - Inducción

Historia de las matemáticas. El mundo de los matemáticos
Historia de las matemáticas - Matemáticos - Medallas Fields - Millennium Prize Problems (Clay Math Prize) - International Mathematical Union - Competiciones matemáticas

Matemáticas recreativas
Cuadrado mágico - Papiroflexia

Se dice que las matemáticas abarcan tres ámbitos:
  1. Aritmética
  2. Geometría, incluyendo la Trigonometría y las Secciones cónicas
  3. Ánálisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra, la geometría analítica y el cálculo.

Cada una de estas categorías se divide a su vez en pura o abstracta, en donde se consideran las magnitudes o cantidades abstractamente, sin relación a la materia; y en aplicada, la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales, y por consecuencia se relaciona con consideraciones físicas.

Table of contents
1 Historia
2 Crisis históricas de las matemáticas
3 Enlaces relacionados

Historia

Históricamente, las matemáticas surgieron con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisión amplia de las matemáticas en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.

El estudio de la estructura comienza con los números, inicialmente los números naturales y los números enteros.
Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio. El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría.

La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales, y el cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, y de las soluciones a estas ecuaciones, se estudian las ecuaciones diferenciales.

Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, que se denomina Análisis.

Por razones matemáticas, es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo.

El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto.

Un campo importante en matemáticas aplicadas es la probabilidad y la estadística, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias.

El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.

Crisis históricas de las matemáticas

Las matemáticas han pasado por tres crisis históricas importantes:
  1. El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos, la existencia de los números irracionales que de alguna forma debilitó la filosofía de los pitagóricos.
  2. Aparición del cálculo en el siglo XVII, con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
  3. La tercera fue el hallazgo de las antinomias, como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX, que atacaban los mismos cimientos de la materia
Fuente: El dedo de Galileo. Peter Atkins. En Espasa Calpe-2003

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